Aljabar Linier Matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matrriks tersusun atas m baris dan n kolom maka dikatakan matriks tersebut berukuran ( berordo) m x n. Penulisan matriks biasanya menggunakan huruf besar A,B,C dan seterusnya, sedangkan penulisan matriks beserta ukurannya.
Sedangkan Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Definisi Lain
Aljabar linear adalah cabang matematika tentang ruang vektor dan pemetaan linear antara ruang tersebut. Ini mencakup studi tentang garis, bidang, dan subruang, tetapi juga peduli dengan sifat umum untuk semua ruang vektor.
Himpunan titik-titik dengan koordinat yang memenuhi persamaan linear membentuk hyperplane dalam ruang n-dimensi. Kondisi di mana satu set n hyperplanes berpotongan di satu titik merupakan fokus penting dari studi dalam aljabar linear. investigasi tersebut awalnya dimotivasi oleh sistem persamaan linear yang mengandung beberapa yang tidak diketahui. persamaan tersebut secara alami direpresentasikan menggunakan formalisme matriks dan vektor.
Aljabar linear adalah pusat kedua matematika murni dan terapan. Misalnya, aljabar abstrak timbul oleh santai aksioma ruang vektor, yang mengarah ke sejumlah generalisasi. analisis fungsional mempelajari versi terbatas dimensi teori ruang vektor. Dikombinasikan dengan kalkulus, aljabar linear memfasilitasi solusi dari sistem linear persamaan diferensial.
Teknik dari aljabar linier juga digunakan dalam analisis geometri, teknik, fisika, ilmu alam, ilmu komputer, animasi komputer, maju algoritma pengenalan wajah dan ilmu-ilmu sosial (terutama di bidang ekonomi). Karena linear aljabar adalah suatu teori yang dikembangkan, model matematika nonlinear kadang-kadang didekati dengan model linier.
Sejarah
Studi tentang aljabar linier pertama muncul dari studi tentang faktor-faktor penentu, yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear. Penentu yang digunakan oleh Leibniz pada 1693, dan kemudian, Gabriel Cramer merancang Peraturan Cramer untuk memecahkan sistem linear tahun 1750. Kemudian, Gauss dikembangkan lebih lanjut teori memecahkan sistem linear dengan menggunakan eliminasi Gauss, yang awalnya terdaftar sebagai kemajuan dalam geodesi.
Studi tentang aljabar matriks pertama kali muncul di Inggris pada pertengahan 1800-an. Pada tahun 1844 Hermann Grassmann mempublikasikan "Teori Extension" yang termasuk topik dasar dari apa yang sekarang disebut aljabar linear. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan matriks jangka, yang dalam bahasa Latin berarti "rahim". Sementara belajar komposisi transformasi linear, Arthur Cayley dipimpin untuk mendefinisikan perkalian matriks dan invers. Krusial, Cayley digunakan satu huruf untuk menunjukkan matriks, sehingga memperlakukan matriks sebagai objek agregat. Dia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Tidak akan banyak hal untuk mengatakan tentang teori ini dari matriks yang seharusnya, menurut saya, mendahului teori penentu".
Pada tahun 1882, Hüseyin Tevfik Pasha menulis buku berjudul "Linear Algebra". Pertama modern dan lebih tepat definisi dari ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888; tahun 1900, teori transformasi linear dari ruang vektor berdimensi terhingga telah muncul. aljabar linier mengambil bentuk modern pada paruh pertama abad kedua puluh, ketika banyak ide-ide dan metode abad sebelumnya yang digeneralisasikan sebagai aljabar abstrak. Penggunaan matriks dalam mekanika kuantum, relativitas khusus, dan statistik membantu menyebarkan subyek aljabar linier luar matematika murni. Perkembangan komputer menyebabkan peningkatan penelitian di algoritma efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks, dan linear aljabar menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.
Asal dari banyak ide-ide ini dibahas dalam artikel tentang faktor-faktor penentu dan eliminasi Gauss.
Sejarah pendidikan
Aljabar linier pertama kali muncul dalam buku teks pascasarjana di tahun 1940-an dan di buku teks sarjana dalam pekerjaan 1950s.Following oleh Matematika Study Group Sekolah, AS sekolah tinggi meminta siswa kelas 12 untuk melakukan "aljabar matriks, sebelumnya disediakan untuk kuliah" di tahun 1960-an.
Di Perancis selama tahun 1960, pendidik berusaha untuk mengajar aljabar linear melalui dimensi ruang vector affine pada tahun pertama sekolah menengah. Ini bertemu dengan reaksi pada 1980-an yang dihapus aljabar linier dari kurikulum.
Pada tahun 1993, Linear Algebra Kurikulum Study Group yang berbasis di AS merekomendasikan bahwa sarjana aljabar linier diberi "orientasi matriks" aplikasi berbasis sebagai lawan orientasi teoritis.
Ruang lingkup penelitian
Ruang vektor
Struktur utama aljabar linear adalah ruang vektor. Sebuah ruang vektor atas F bidang adalah satu set V bersama-sama dengan dua operasi biner. Elemen V disebut vektor dan elemen dari F disebut skalar.
Operasi pertama, penjumlahan vektor, mengambil setiap dua vektor v dan w dan output vektor v ketiga + w. Operasi kedua, perkalian skalar, mengambil setiap skalar dan vektor v dan output av vektor baru.
Operasi penjumlahan dan perkalian dalam ruang vektor harus memenuhi berikut axioms.In daftar di bawah ini, biarkan u, v dan w adalah vektor-vektor sewenang-wenang dalam V, dan dan skalar b di F.
Aksioma Signifikasi
Associativity penambahan u + (v + w) = (u + v) + w
Komutatif Selain u + v = v + u
Elemen identitas Selain Terdapat unsur 0 ∈ V, yang disebut vektor nol, sehingga v + 0 = v untuk semua v ∈ V.
Unsur balikan penambahan Untuk setiap v ∈ V, terdapat unsur-v ∈ V, disebut invers aditif dari v, sehingga v + (v) = 0
Distributivity perkalian skalar (u + v) = au + av
sehubungan dengan
penambahan vektor
Distributivity perkalian skalar (a + b) v = av + bv
terhadap penambahan lapangan
Kompatibilitas perkalian skalar (bv) = (ab) v [nb 1]
dengan bidang perkalian
elemen identitas dari 1V = v, di mana 1 perkalian skalar menunjukkan identitas perkalian di F.
Empat aksioma pertama adalah mereka dari V menjadi kelompok abelian bawah penjumlahan vektor. ruang vektor mungkin beragam di alam, misalnya, mengandung fungsi, polinomial atau matriks. aljabar linier berkaitan dengan sifat umum untuk semua ruang vektor.
Transformasi linear
Demikian seperti dalam teori aljabar struktur lainnya, linear studi aljabar pemetaan antara ruang vektor yang melestarikan struktur vektor-ruang. Mengingat dua ruang vektor V dan W atas lapangan F, transformasi linear (juga disebut peta linear, pemetaan linear atau operator linear) adalah peta
T: V - W
yang kompatibel dengan penjumlahan dan perkalian skalar:
T (u + v) = T (u) + T (v), T (av) = aT (v)
untuk setiap vektor u, v ∈ V dan skalar a ∈ F.
Selain itu untuk setiap vektor u, v ∈ V dan skalar a, b ∈ F:
T (au + bv) = T (au) + T (bv) = aT (u) + bT (v),
Ketika pemetaan linear bijektif ada antara dua ruang vektor (yaitu, setiap vektor dari ruang kedua dikaitkan dengan tepat satu di pertama), kita mengatakan bahwa dua ruang adalah isomorfik. Karena isomorfisme mempertahankan struktur linear, dua ruang vektor isomorfik adalah "pada dasarnya sama" dari titik aljabar linier pandang.
Satu pertanyaan penting dalam aljabar linear adalah apakah pemetaan adalah isomorfisme atau tidak, dan pertanyaan ini dapat dijawab dengan memeriksa jika determinan tersebut adalah nol. Jika pemetaan tidak isomorfisme, linear aljabar tertarik dalam menemukan jangkauan (atau gambar) dan set elemen yang bisa dipetakan ke nol, disebut kernel dari pemetaan.
Transformasi linear memiliki makna geometris. Misalnya, 2 × 2 matriks nyata menunjukkan pemetaan planar standar yang melestarikan asal.
Subruang, span, dan dasar
Sekali lagi, di analog dengan teori benda aljabar lainnya, linear aljabar tertarik himpunan bagian dari ruang vektor yang sendirinya ruang vektor; subset ini disebut subruang linear. Sebagai contoh, kedua jangkauan dan kernel dari pemetaan linear adalah subruang, dan dengan demikian sering disebut ruang jangkauan dan ruang nul tersebut; ini adalah contoh penting dari ruang bagian. Cara lain yang penting untuk membentuk ruang bagian adalah untuk mengambil kombinasi linear dari himpunan vektor-vektor v1, v2, ..., vk:
a1v1 + a2v2 + ... + ak vk,
di mana a1, a2, ..., ak adalah skalar. Himpunan semua kombinasi linear dari vektor v1, v2, ..., vk disebut rentang mereka, yang membentuk subruang.
Sebuah kombinasi linear dari setiap sistem vektor dengan semua koefisien nol adalah nol vektor V. Jika ini adalah satu-satunya cara untuk mengekspresikan vektor nol sebagai kombinasi linear dari v1, v2, ..., vk maka vektor-vektor ini bebas linear . Mengingat satu set vektor yang mencakup ruang, jika ada w vektor adalah kombinasi linear dari vektor lainnya (dan set tidak linear), maka rentang akan tetap sama jika kita menghapus w dari set.
Dengan demikian, satu set vektor bebas linear berlebihan dalam arti bahwa akan ada subset bebas linear yang akan span ruang bagian yang sama. Oleh karena itu, kami sangat tertarik dalam suatu himpunan bebas linear dari vektor yang merentang ruang vektor V, yang kita sebut basis dari V. Setiap himpunan vektor yang merentang V berisi dasar, dan setiap himpunan bebas linear dari vektor di V dapat diperluas ke dasar.
Ternyata bahwa jika kita menerima aksioma pilihan, setiap ruang vektor memiliki dasar; Namun demikian, dasar ini mungkin tidak wajar, dan memang, bahkan mungkin tidak constructible. Misalnya, terdapat sebuah dasar untuk bilangan real, dianggap sebagai ruang vektor atas rasional, tetapi tidak ada dasar yang jelas telah dibangun.
Setiap dua basis dari ruang vektor V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dimensi V. Dimensi ruang vektor didefinisikan dengan baik oleh teorema dimensi untuk ruang vektor.
Jika basis dari V memiliki jumlah terbatas elemen, V disebut ruang vektor berdimensi terhingga. Jika V adalah terbatas dimensi dan U adalah subruang dari V, maka dim U ≤ dim V. Jika U1 dan U2 adalah subruang dari V, maka
dim (U1} + U2) = dimU1 + dimU2 - dim U1nU2
Salah satu yang sering membatasi pertimbangan untuk ruang vektor berdimensi terhingga. Sebuah teorema dasar negara aljabar linier bahwa semua ruang vektor dari dimensi yang sama isomorfik, [15] memberikan cara mudah untuk mengkarakterisasi isomorfisma.
Matrix teori
Dasar tertentu {v1, v2, ..., vn} V memungkinkan seseorang untuk membangun sebuah sistem koordinat di V: vektor dengan koordinat (a1, a2, ..., an) adalah kombinasi linear
a1v1+ a2v2 + .....+ anvn.
Kondisi yang v1, v2, ..., vn rentang V jaminan bahwa setiap vektor v dapat diberikan koordinat, sedangkan kebebasan linear dari v1, v2, ..., vn menjamin bahwa koordinat ini unik (yaitu hanya ada satu kombinasi linear dari vektor-vektor basis yang sama dengan v).
Dengan cara ini, sekali dasar V ruang vektor atas F telah dipilih, V dapat diidentifikasi dengan koordinat ruang-n Fn. Di bawah identifikasi ini, penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor di V sesuai dengan penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor-vektor koordinat mereka di Fn.
Selain itu, jika V dan W adalah ruang n-dimensi dan m-dimensi vektor atas F, dan basis dari V dan dasar W telah diperbaiki, maka setiap transformasi linear T: V → W dapat dikodekan oleh × m n matriks A dengan entri di bidang F, disebut matriks T terhadap basis-basis ini.
Dua matriks yang menyandikan transformasi linear yang sama dalam basis yang berbeda disebut serupa. teori matriks menggantikan studi transformasi linear, yang didefinisikan secara aksiomatik, dengan mempelajari matriks, yang adalah objek konkret. Teknik utama ini membedakan aljabar linear dari teori aljabar struktur lainnya, yang biasanya tidak dapat diberi parameter begitu konkret.
Ada perbedaan penting antara Rn koordinat n-ruang dan terbatas dimensi ruang vektor V. umum Sementara Rn memiliki dasar standar {e1, e2, ..., en}, ruang vektor V biasanya tidak dilengkapi dengan dasar tersebut dan banyak basis yang berbeda ada (meskipun mereka semua terdiri dari jumlah yang sama elemen sama dengan dimensi V).
Salah satu aplikasi utama dari teori matriks adalah perhitungan determinan, konsep sentral dalam aljabar linear. Sementara penentu dapat didefinisikan secara secara bebas, mereka biasanya diperkenalkan melalui representasi spesifik pemetaan; nilai determinan tidak tergantung pada dasar tertentu.
Ternyata pemetaan memiliki invers jika dan hanya jika determinan memiliki invers (setiap non-nol bilangan real atau kompleks memiliki invers). Jika determinan adalah nol, maka ruang nul adalah trivial. Penentu memiliki aplikasi lain, termasuk cara sistematis melihat apakah satu set vektor bebas linear (kita menulis vektor sebagai kolom dari matriks, dan jika determinan dari matriks yang adalah nol, vektor-vektor yang linear).
Penentu juga bisa digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear (lihat aturan Cramer), tetapi dalam aplikasi nyata, eliminasi Gauss adalah metode yang lebih cepat.
Definisi Lain
Aljabar linear adalah cabang matematika tentang ruang vektor dan pemetaan linear antara ruang tersebut. Ini mencakup studi tentang garis, bidang, dan subruang, tetapi juga peduli dengan sifat umum untuk semua ruang vektor.
Himpunan titik-titik dengan koordinat yang memenuhi persamaan linear membentuk hyperplane dalam ruang n-dimensi. Kondisi di mana satu set n hyperplanes berpotongan di satu titik merupakan fokus penting dari studi dalam aljabar linear. investigasi tersebut awalnya dimotivasi oleh sistem persamaan linear yang mengandung beberapa yang tidak diketahui. persamaan tersebut secara alami direpresentasikan menggunakan formalisme matriks dan vektor.
Aljabar linear adalah pusat kedua matematika murni dan terapan. Misalnya, aljabar abstrak timbul oleh santai aksioma ruang vektor, yang mengarah ke sejumlah generalisasi. analisis fungsional mempelajari versi terbatas dimensi teori ruang vektor. Dikombinasikan dengan kalkulus, aljabar linear memfasilitasi solusi dari sistem linear persamaan diferensial.
Teknik dari aljabar linier juga digunakan dalam analisis geometri, teknik, fisika, ilmu alam, ilmu komputer, animasi komputer, maju algoritma pengenalan wajah dan ilmu-ilmu sosial (terutama di bidang ekonomi). Karena linear aljabar adalah suatu teori yang dikembangkan, model matematika nonlinear kadang-kadang didekati dengan model linier.
Sejarah
Studi tentang aljabar linier pertama muncul dari studi tentang faktor-faktor penentu, yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear. Penentu yang digunakan oleh Leibniz pada 1693, dan kemudian, Gabriel Cramer merancang Peraturan Cramer untuk memecahkan sistem linear tahun 1750. Kemudian, Gauss dikembangkan lebih lanjut teori memecahkan sistem linear dengan menggunakan eliminasi Gauss, yang awalnya terdaftar sebagai kemajuan dalam geodesi.
Studi tentang aljabar matriks pertama kali muncul di Inggris pada pertengahan 1800-an. Pada tahun 1844 Hermann Grassmann mempublikasikan "Teori Extension" yang termasuk topik dasar dari apa yang sekarang disebut aljabar linear. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan matriks jangka, yang dalam bahasa Latin berarti "rahim". Sementara belajar komposisi transformasi linear, Arthur Cayley dipimpin untuk mendefinisikan perkalian matriks dan invers. Krusial, Cayley digunakan satu huruf untuk menunjukkan matriks, sehingga memperlakukan matriks sebagai objek agregat. Dia juga menyadari hubungan antara matriks dan determinan, dan menulis "Tidak akan banyak hal untuk mengatakan tentang teori ini dari matriks yang seharusnya, menurut saya, mendahului teori penentu".
Pada tahun 1882, Hüseyin Tevfik Pasha menulis buku berjudul "Linear Algebra". Pertama modern dan lebih tepat definisi dari ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888; tahun 1900, teori transformasi linear dari ruang vektor berdimensi terhingga telah muncul. aljabar linier mengambil bentuk modern pada paruh pertama abad kedua puluh, ketika banyak ide-ide dan metode abad sebelumnya yang digeneralisasikan sebagai aljabar abstrak. Penggunaan matriks dalam mekanika kuantum, relativitas khusus, dan statistik membantu menyebarkan subyek aljabar linier luar matematika murni. Perkembangan komputer menyebabkan peningkatan penelitian di algoritma efisien untuk eliminasi Gauss dan dekomposisi matriks, dan linear aljabar menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.
Asal dari banyak ide-ide ini dibahas dalam artikel tentang faktor-faktor penentu dan eliminasi Gauss.
Sejarah pendidikan
Aljabar linier pertama kali muncul dalam buku teks pascasarjana di tahun 1940-an dan di buku teks sarjana dalam pekerjaan 1950s.Following oleh Matematika Study Group Sekolah, AS sekolah tinggi meminta siswa kelas 12 untuk melakukan "aljabar matriks, sebelumnya disediakan untuk kuliah" di tahun 1960-an.
Di Perancis selama tahun 1960, pendidik berusaha untuk mengajar aljabar linear melalui dimensi ruang vector affine pada tahun pertama sekolah menengah. Ini bertemu dengan reaksi pada 1980-an yang dihapus aljabar linier dari kurikulum.
Pada tahun 1993, Linear Algebra Kurikulum Study Group yang berbasis di AS merekomendasikan bahwa sarjana aljabar linier diberi "orientasi matriks" aplikasi berbasis sebagai lawan orientasi teoritis.
Ruang lingkup penelitian
Ruang vektor
Struktur utama aljabar linear adalah ruang vektor. Sebuah ruang vektor atas F bidang adalah satu set V bersama-sama dengan dua operasi biner. Elemen V disebut vektor dan elemen dari F disebut skalar.
Operasi pertama, penjumlahan vektor, mengambil setiap dua vektor v dan w dan output vektor v ketiga + w. Operasi kedua, perkalian skalar, mengambil setiap skalar dan vektor v dan output av vektor baru.
Operasi penjumlahan dan perkalian dalam ruang vektor harus memenuhi berikut axioms.In daftar di bawah ini, biarkan u, v dan w adalah vektor-vektor sewenang-wenang dalam V, dan dan skalar b di F.
Aksioma Signifikasi
Associativity penambahan u + (v + w) = (u + v) + w
Komutatif Selain u + v = v + u
Elemen identitas Selain Terdapat unsur 0 ∈ V, yang disebut vektor nol, sehingga v + 0 = v untuk semua v ∈ V.
Unsur balikan penambahan Untuk setiap v ∈ V, terdapat unsur-v ∈ V, disebut invers aditif dari v, sehingga v + (v) = 0
Distributivity perkalian skalar (u + v) = au + av
sehubungan dengan
penambahan vektor
Distributivity perkalian skalar (a + b) v = av + bv
terhadap penambahan lapangan
Kompatibilitas perkalian skalar (bv) = (ab) v [nb 1]
dengan bidang perkalian
elemen identitas dari 1V = v, di mana 1 perkalian skalar menunjukkan identitas perkalian di F.
Empat aksioma pertama adalah mereka dari V menjadi kelompok abelian bawah penjumlahan vektor. ruang vektor mungkin beragam di alam, misalnya, mengandung fungsi, polinomial atau matriks. aljabar linier berkaitan dengan sifat umum untuk semua ruang vektor.
Transformasi linear
Demikian seperti dalam teori aljabar struktur lainnya, linear studi aljabar pemetaan antara ruang vektor yang melestarikan struktur vektor-ruang. Mengingat dua ruang vektor V dan W atas lapangan F, transformasi linear (juga disebut peta linear, pemetaan linear atau operator linear) adalah peta
T: V - W
yang kompatibel dengan penjumlahan dan perkalian skalar:
T (u + v) = T (u) + T (v), T (av) = aT (v)
untuk setiap vektor u, v ∈ V dan skalar a ∈ F.
Selain itu untuk setiap vektor u, v ∈ V dan skalar a, b ∈ F:
T (au + bv) = T (au) + T (bv) = aT (u) + bT (v),
Ketika pemetaan linear bijektif ada antara dua ruang vektor (yaitu, setiap vektor dari ruang kedua dikaitkan dengan tepat satu di pertama), kita mengatakan bahwa dua ruang adalah isomorfik. Karena isomorfisme mempertahankan struktur linear, dua ruang vektor isomorfik adalah "pada dasarnya sama" dari titik aljabar linier pandang.
Satu pertanyaan penting dalam aljabar linear adalah apakah pemetaan adalah isomorfisme atau tidak, dan pertanyaan ini dapat dijawab dengan memeriksa jika determinan tersebut adalah nol. Jika pemetaan tidak isomorfisme, linear aljabar tertarik dalam menemukan jangkauan (atau gambar) dan set elemen yang bisa dipetakan ke nol, disebut kernel dari pemetaan.
Transformasi linear memiliki makna geometris. Misalnya, 2 × 2 matriks nyata menunjukkan pemetaan planar standar yang melestarikan asal.
Subruang, span, dan dasar
Sekali lagi, di analog dengan teori benda aljabar lainnya, linear aljabar tertarik himpunan bagian dari ruang vektor yang sendirinya ruang vektor; subset ini disebut subruang linear. Sebagai contoh, kedua jangkauan dan kernel dari pemetaan linear adalah subruang, dan dengan demikian sering disebut ruang jangkauan dan ruang nul tersebut; ini adalah contoh penting dari ruang bagian. Cara lain yang penting untuk membentuk ruang bagian adalah untuk mengambil kombinasi linear dari himpunan vektor-vektor v1, v2, ..., vk:
a1v1 + a2v2 + ... + ak vk,
di mana a1, a2, ..., ak adalah skalar. Himpunan semua kombinasi linear dari vektor v1, v2, ..., vk disebut rentang mereka, yang membentuk subruang.
Sebuah kombinasi linear dari setiap sistem vektor dengan semua koefisien nol adalah nol vektor V. Jika ini adalah satu-satunya cara untuk mengekspresikan vektor nol sebagai kombinasi linear dari v1, v2, ..., vk maka vektor-vektor ini bebas linear . Mengingat satu set vektor yang mencakup ruang, jika ada w vektor adalah kombinasi linear dari vektor lainnya (dan set tidak linear), maka rentang akan tetap sama jika kita menghapus w dari set.
Dengan demikian, satu set vektor bebas linear berlebihan dalam arti bahwa akan ada subset bebas linear yang akan span ruang bagian yang sama. Oleh karena itu, kami sangat tertarik dalam suatu himpunan bebas linear dari vektor yang merentang ruang vektor V, yang kita sebut basis dari V. Setiap himpunan vektor yang merentang V berisi dasar, dan setiap himpunan bebas linear dari vektor di V dapat diperluas ke dasar.
Ternyata bahwa jika kita menerima aksioma pilihan, setiap ruang vektor memiliki dasar; Namun demikian, dasar ini mungkin tidak wajar, dan memang, bahkan mungkin tidak constructible. Misalnya, terdapat sebuah dasar untuk bilangan real, dianggap sebagai ruang vektor atas rasional, tetapi tidak ada dasar yang jelas telah dibangun.
Setiap dua basis dari ruang vektor V memiliki kardinalitas yang sama, yang disebut dimensi V. Dimensi ruang vektor didefinisikan dengan baik oleh teorema dimensi untuk ruang vektor.
Jika basis dari V memiliki jumlah terbatas elemen, V disebut ruang vektor berdimensi terhingga. Jika V adalah terbatas dimensi dan U adalah subruang dari V, maka dim U ≤ dim V. Jika U1 dan U2 adalah subruang dari V, maka
dim (U1} + U2) = dimU1 + dimU2 - dim U1nU2
Salah satu yang sering membatasi pertimbangan untuk ruang vektor berdimensi terhingga. Sebuah teorema dasar negara aljabar linier bahwa semua ruang vektor dari dimensi yang sama isomorfik, [15] memberikan cara mudah untuk mengkarakterisasi isomorfisma.
Matrix teori
Dasar tertentu {v1, v2, ..., vn} V memungkinkan seseorang untuk membangun sebuah sistem koordinat di V: vektor dengan koordinat (a1, a2, ..., an) adalah kombinasi linear
a1v1+ a2v2 + .....+ anvn.
Kondisi yang v1, v2, ..., vn rentang V jaminan bahwa setiap vektor v dapat diberikan koordinat, sedangkan kebebasan linear dari v1, v2, ..., vn menjamin bahwa koordinat ini unik (yaitu hanya ada satu kombinasi linear dari vektor-vektor basis yang sama dengan v).
Dengan cara ini, sekali dasar V ruang vektor atas F telah dipilih, V dapat diidentifikasi dengan koordinat ruang-n Fn. Di bawah identifikasi ini, penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor di V sesuai dengan penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor-vektor koordinat mereka di Fn.
Selain itu, jika V dan W adalah ruang n-dimensi dan m-dimensi vektor atas F, dan basis dari V dan dasar W telah diperbaiki, maka setiap transformasi linear T: V → W dapat dikodekan oleh × m n matriks A dengan entri di bidang F, disebut matriks T terhadap basis-basis ini.
Dua matriks yang menyandikan transformasi linear yang sama dalam basis yang berbeda disebut serupa. teori matriks menggantikan studi transformasi linear, yang didefinisikan secara aksiomatik, dengan mempelajari matriks, yang adalah objek konkret. Teknik utama ini membedakan aljabar linear dari teori aljabar struktur lainnya, yang biasanya tidak dapat diberi parameter begitu konkret.
Ada perbedaan penting antara Rn koordinat n-ruang dan terbatas dimensi ruang vektor V. umum Sementara Rn memiliki dasar standar {e1, e2, ..., en}, ruang vektor V biasanya tidak dilengkapi dengan dasar tersebut dan banyak basis yang berbeda ada (meskipun mereka semua terdiri dari jumlah yang sama elemen sama dengan dimensi V).
Salah satu aplikasi utama dari teori matriks adalah perhitungan determinan, konsep sentral dalam aljabar linear. Sementara penentu dapat didefinisikan secara secara bebas, mereka biasanya diperkenalkan melalui representasi spesifik pemetaan; nilai determinan tidak tergantung pada dasar tertentu.
Ternyata pemetaan memiliki invers jika dan hanya jika determinan memiliki invers (setiap non-nol bilangan real atau kompleks memiliki invers). Jika determinan adalah nol, maka ruang nul adalah trivial. Penentu memiliki aplikasi lain, termasuk cara sistematis melihat apakah satu set vektor bebas linear (kita menulis vektor sebagai kolom dari matriks, dan jika determinan dari matriks yang adalah nol, vektor-vektor yang linear).
Penentu juga bisa digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear (lihat aturan Cramer), tetapi dalam aplikasi nyata, eliminasi Gauss adalah metode yang lebih cepat.
Berikut link Download Materi Aljabar Linear Matriks :
